Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Ja, schönen guten Morgen, hatte ich fast gesagt. Es ist schon Nachmittag. Hallo zusammen. Der Vorteil,

dass Sie heute hier sind. Sie können keinen Sonnenbrand kriegen bei den Temperaturen.

Herr Knabner hat es ja wahrscheinlich schon angekündigt, dass er diese Woche auf

Konferenzreise ist und insofern habe ich das Vergnügen, ihn zu vertreten, heute und morgen.

Es ist diese Woche auch die Woche der Evaluierungen und ich habe die Bögen dabei. Das werden wir am

Ende der Vorlesung machen. Sie werden eine Viertelstunde oder so etwas Zeit kriegen,

um die dann direkt auszufüllen und dann möchte ich einen von Ihnen bitten, die wieder einzusammeln

und in einem Umschlag ins Sekretariat das Bereich Studium und Lehre zu bringen. Wird sich da einer

gleich dazu bereit erklären, der es rüber trägt. Wir können es auch am Schluss machen. Das ist im

ersten Stock die Frau Schindler oder den Herrn Kronz. Kennen Sie vielleicht neben der Systemadministration

erster Stock. Ich glaube der Raum steht sogar hier. Ja, Raum 01, 332. Neben Herrn Bauer Systemadministration

ist das erster Stock im Mathe-Teil. Genau, damit die nicht mehr durch unsere Hände gehen nach ihrer

Bearbeitung. Okay, das wollen wir am Ende der Vorlesung machen. Wie gesagt, werden wir uns da

ein bisschen Zeit nehmen dafür. Zunächst mal jetzt heute geht es darum, das Kapitel zu den

Finiten-Differenzen-Verfahren abzuschließen, das Herr Knabner begonnen hat und ich möchte noch

mal kurz resümieren, sozusagen die Notation. Die neun Blätter zirkulieren irgendwo. Also ich möchte

noch mal kurz, dass die Problemstellung in Erinnerung rufen. Das Ganze ist ja immer alles

ein bisschen technisch. Sie haben es jetzt aber schon einige Male gesehen. Insofern haben Sie

das vielleicht schon intus. Also es geht darum, wir diskritisieren die Poisson-Gleichung mit den

Finiten-Differenzen und haben das Ganze gemacht mit einem Fünfpunkt-Differenzen-Stern. Da haben

Sie eine Matrix erhalten, die hatte auf der Diagonalen die Vieren und dann eben im Stern immer

so Minus-1-Einträge und diese Matrix, das war die Matrix A H. U H war unser Lösungsvektor, den Sie

hier sehen in 426, unser Diskreter-Lösungsvektor und dann haben wir eine rechte Seite gehabt Q H und

die setzte sich zusammen aus irgendwelchen Quelltermen, die vorgegeben sind F und dann

Anteilen der Dirichlet-Bedingungen, die ja eben bekannt sind, die werden in den Dirichlet-Rändern,

deswegen können wir die auf die rechte Seite bringen, weil das nicht mehr Teil der Unbekannten ist.

Das war dieser Teil, der in dem A H Dach, U H Dach drin steckt. Also das war die diskrete Form unseres

Gleichungssystems, das wir uns anschauen möchten und jetzt wurde letztes Mal die Frage behandelt

nach der Güte der Approximation. Also das ist natürlich das, was uns beim Nährungsverfahren

immer interessiert und was meinen wir mit Güte der Approximation, wenn wir davon sprechen,

das heißt zum einen konvergiert meine diskrete Lösung U H denn gegen die tatsächliche klassische

Lösung, die hier groß U benannt wird, also groß U auf den Gitterpunkten, in dem Fall an

anderen Punkten kennen wir unsere diskrete Lösung ja nicht, wir berechnen die nur an

Gitterpunkten und an denen können wir das ganze vergleichen mit der tatsächlichen Lösung. Also

das ist die eine Frage nach der Konvergenz, konvergiert U H gegen U, wenn ja mit welcher

Konvergenzordnung, sehen Sie hier nochmal die Definition und Sie haben gesehen, dass damit

verknüpft ist die Frage nach der Konsistenz der Approximation. Was war Konsistenz nochmal?

Konsistenz heißt, was passiert denn eigentlich, wenn ich die richtige Lösung einsetze in meine

diskreten Gleichungen. Da kann ich natürlich auch nicht immer erwarten, dass das ganze einen Fehler

von Null hat, weil ich ja eben irgendwas approximiere, insofern ist mein diskretes

Gleichungssystem in den allermeisten Fällen eben, liefert das auch nicht die exakte Lösung,

also das A H U minus Q H wird nicht immer gleich Null sein. Aber wir wollen natürlich, dass das

eben für immer kleiner werdendes H gegen Null strebt, also dass die Frage nach der Konsistenzordnung

und dann haben Sie auch noch gesehen in der letzten Vorlesung, dass das verknüpft ist mit der Frage

nach der Stabilität. Wenn wir da mal weiter blättern, haben Sie diese Abschätzung 417

kennengelernt, da sehen Sie direkt den Zusammenhang zwischen der Konvergenz auf der linken Seite U H

minus U und der Konsistenz auf der rechten Seite, also dem A H U H minus U und Sie sehen, da ist

eben noch ein Faktor dazu gekommen, das ist die Norm von dem A H hoch minus 1 und das ist das,

was man als Stabilität bezeichnet, also nur wenn diese Norm von dem A H hoch minus 1 beschränkt ist,